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# 苏格拉底式引导：带电粒子在磁场中圆周运动半径公式推导

示例素材

一个电子（质量 m=9.1×10⁻³¹ kg，电荷量 e=1.6×10⁻¹⁹ C）以速度 v=4×10⁶ m/s 垂直射入匀强磁场 B=0.5 T。

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第一问：力的来源

问： 电子在磁场中运动，它受到的力是什么？方向如何？

提示： 回忆洛伦兹力公式 F=qvB（v⊥B 时），用左手定则判断方向。

预期你应得出： 洛伦兹力，大小 qvB，方向始终垂直于速度方向。

第二问：为什么轨迹是圆？

问： 一个力始终垂直于速度方向，只改变速度的方向而不改变大小，这会让你想到哪种运动？

提示： 类比绳系小球的匀速圆周运动，向心力也始终垂直于速度。

预期你应得出： 洛伦兹力恰好充当向心力，粒子做匀速圆周运动。

第三问：建立方程

问： 匀速圆周运动的向心力公式有哪几种写法？这里洛伦兹力应等于哪一项？

提示： F向 = mv²/r 或 mω²r；洛伦兹力大小恒为 qvB。

预期你应得出： qvB = mv²/r。

第四问：自己动手变形

问： 从 qvB = mv²/r 出发，两边同除以 v，r 怎么表示？

预期你应得出： r = mv/(qB)。观察：r 与 v 成正比、与 q 和 B 成反比，动能越大转得越“开阔”。

第五问：代入数字检验

问： 把示例数据代入 r = mv/(qB)，算出 r 是多少？

预期你应得出： r = (9.1×10⁻³¹ × 4×10⁶)/(1.6×10⁻¹⁹ × 0.5) ≈ 4.55×10⁻⁵ m。

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考前三个自测问题

1. 若电子以 30° 角斜射入磁场，轨迹会变成什么？（提示：分解 v，考虑螺旋线）

2. 若 qvB = mv²/r 中 v 加倍而 B 减半，r 变为原来的几倍？

3. 质子与电子以相同速度进入同一磁场，谁半径大？（比 q/m）

按这五问逐步自己推导一遍，比背公式记得牢。